“Limit sonsuz” ifadesi, fonksiyonun belirli bir noktaya yaklaşırken değerinin sonsuza doğru gitmesi anlamına gelir. Bu, fonksiyonun bu noktada bir sınıra ulaşmadığı anlamına gelir, ancak bu bir limit tanımıdır. Yani teknik olarak, bir fonksiyonun limiti sonsuz olduğunda, bu bir “limit” değeridir. Ancak bu, fonksiyonun o noktada gerçekte bir değere sahip olmadığı anlamına gelir.

Örneğin, �(�)=1�f(x)=x1​ fonksiyonu için x’in 0’a yaklaştığı yerde:

lim⁡�→0+�(�)=+∞limx→0+​f(x)=+∞ lim⁡�→0−�(�)=−∞limx→0−​f(x)=−∞

Burada, x 0’a pozitif yönden yaklaştığında f(x) pozitif sonsuza gider, x 0’a negatif yönden yaklaştığında ise f(x) negatif sonsuza gider. Bu da demek oluyor ki f(x) = 1/x fonksiyonunun x=0 noktasında bir limiti yok. Ancak “limitin sonsuz olduğunu” belirtmek, fonksiyonun o noktada nasıl davrandığını anlamamıza yardımcı olur.

Bu nedenle, “Limit sonsuz ise limit var mıdır?” sorusuna cevap olarak, “Evet, limit sonsuz olarak tanımlanır, ancak bu, fonksiyonun o noktada gerçek bir değere sahip olmadığı anlamına gelir.” diyebiliriz.

“Sonsuz bölü sonsuz” ifadesi, belirsiz bir formdur. Yani net bir değeri yoktur. Matematikte bu tür belirsiz formlar karşımıza çıktığında genellikle problemi yeniden yapılandırmamız veya cebirsel bazı dönüşümler yapmamız gereklidir.

Bir fonksiyonun sınırını hesaplarken “sonsuz bölü sonsuz” şeklinde bir durumla karşılaştığınızda, bu direkt olarak bu sınırın sonsuz ya da herhangi bir değer olduğunu söylemez. Özellikle bu durumu çözmek için limitlerle ilgili bazı teknikleri kullanmanız gerekebilir.

Örneğin: lim⁡�→0��limx→0​xx​ Bu durumda, “sonsuz bölü sonsuz” belirsiz formuna rağmen, limit 1’dir.

Fakat: lim⁡�→0�2�limx→0​xx2​ Bu durumda limit 0’dır.

Her iki örnekte de fonksiyonlar x’e bölünmüş şekildedir, ancak limitleri farklıdır. Bu nedenle “sonsuz bölü sonsuz” belirsiz bir formdur ve karşımıza çıktığında ekstra analiz yapmamız gereklidir.

Bir fonksiyonun limitinin sonsuz olması, fonksiyonun belirli bir noktaya veya sonsuza doğru yaklaşırken değerinin artarak ya da azalarak sınırsız bir şekilde büyüdüğü ya da küçüldüğü anlamına gelir.

Bir fonksiyonun limiti, belirli durumlarda sonsuz olabilir:

1. Dikey Asimptotlar: Fonksiyonun grafiği, belirli bir x değerine yaklaşırken y ekseninde sınırsız bir şekilde artıyorsa veya azalıyorsa, bu x değeri için fonksiyonun limiti sonsuzdur ya da negatif sonsuzdur. Örneğin, �(�)=1�2f(x)=x21​ fonksiyonu için: lim⁡�→0+�(�)=+∞limx→0+​f(x)=+∞ lim⁡�→0−�(�)=+∞limx→0−​f(x)=+∞
2. Yatay Asimptotlar: Fonksiyonun grafiği, x değeri sonsuza (veya negatif sonsuza) yaklaşırken y değeri sınırsız bir şekilde artıyorsa veya azalıyorsa, bu sonsuz noktası için fonksiyonun limiti sonsuzdur ya da negatif sonsuzdur.
3. Fonksiyonun Tanım Kümesi Dışındaki Noktalar: Bazı fonksiyonlar belirli x değerlerinde tanımlı değildir, ancak bu değerlere yaklaşırken fonksiyon değerleri sınırsız bir şekilde artabilir veya azalabilir.
4. Kökler ve Diğer Fonksiyonlar: Bazı fonksiyonların kökleri veya diğer özellikleri, fonksiyonun değerinin belirli bir noktada sonsuz olmasına neden olabilir.

Bir fonksiyonun limitinin gerçekten sonsuz olup olmadığını belirlemek için genellikle cebirsel yöntemler, limit özellikleri veya grafiksel inceleme gibi araçlara ihtiyaç vardır. Ancak, bir fonksiyonun limitinin sonsuz olduğunu söylemek, fonksiyonun bu noktada bir sınıra ulaşmadığı anlamına gelir; yani fonksiyon bu noktada gerçekte bir değere sahip değildir, ancak bu bir limit tanımıdır.